Statystyka w Psychologii · Ćwiczenia 2

Opisać rozkład: środek, rozrzut i kształt

Jedna liczba rzadko opisuje dane w pełni. Gdzie leży „środek" rozkładu, jak bardzo wyniki są rozproszone i czy rozkład jest symetryczny? Zobaczysz, dlaczego jeden wynik odstający potrafi zwieść średnią — a mediana go ignoruje.

SD = √ wariancja „przeciętna wartość, o jaką wyniki odchylają się od średniej"

Rozkład normalny i jego właściwości

Punkt odniesienia dla większości metod statystycznych. Zanim opiszemy dane liczbami, warto wiedzieć, do jakiego „wzorcowego" kształtu je porównujemy.

Rozkład normalny to symetryczny, dzwonowaty kształt, do którego naturalnie zbliża się wiele zmiennych psychologicznych (np. nasilenie cechy w dużej próbie). Histogram zmiennej Neuroticism z bazy danych — z nałożoną krzywą gęstości — pokazuje właśnie taki w przybliżeniu normalny rozkład: większość wyników gromadzi się w środku, a skrajne wartości są rzadkie.

Symetria

Lewa i prawa połowa są swoim lustrzanym odbiciem. W idealnym rozkładzie normalnym moda = mediana = średnia i wszystkie leżą w tym samym punkcie — w centrum.

Przewidywalne ogony

Im dalej od środka, tym mniej obserwacji. Krzywa nigdy nie dotyka osi — skrajne wyniki są możliwe, ale coraz mniej prawdopodobne.

Po co to wiedzieć? Wiele testów statystycznych zakłada, że dane są w przybliżeniu normalne. Dlatego opisując zmienną, sprawdzamy nie tylko jej środek i rozrzut, ale też kształt rozkładu (symetrię i spłaszczenie) — żeby ocenić, czy to założenie jest spełnione.

Miary tendencji centralnej

Czyli „środek" rozkładu. Są to miary przeciętności lub typowości — próbują jedną liczbą oddać, gdzie skupiają się wyniki.

„Pojedyncza sumaryczna liczba, która opisuje centralne położenie całkowitego rozkładu obserwacji." Miary tendencji centralnej to przeciętne lub miary typowości.

Dominanta (moda)

Wynik występujący najczęściej w zbiorze. symbol: Mo

Przykład: w ocenach 2, 2, 2, 3, 3, 9 modą jest 2.

Mediana

Wartość dzieląca rozkład na połowy (50% i 50%) — punkt, poniżej którego leży połowa wyników.

Przy parzystej liczbie wyników to średnia dwóch środkowych.

Średnia arytmetyczna

Suma wyników podzielona przez ich liczbę. Najczęściej używana, ale wrażliwa na skrajne wartości.

Uwzględnia każdą obserwację — także odstającą.

Która miara dla której skali pomiaru?

Wybór miary tendencji centralnej zależy od poziomu pomiaru zmiennej — nie każdą miarę wolno policzyć dla każdej skali.

Skala pomiaru	Dominanta (Mo)	Mediana	Średnia
Nominalna (np. płeć)	✓	—	—
Porządkowa (np. wykształcenie)	✓	✓	—
Przedziałowa (np. temperatura)	✓	✓	✓
Ilorazowa (np. wiek)	✓	✓	✓

Logika jest kumulatywna: im wyższy poziom pomiaru, tym więcej miar wolno policzyć. Dla skali nominalnej sensowna jest tylko dominanta; mediana wymaga porządku; średnia — równych odstępów (co najmniej skala przedziałowa).

Mediana, średnia a obserwacje odstające

Kluczowa różnica praktyczna: średnia „czuje" każdą wartość, a mediana patrzy tylko na pozycję środkową. Jeden wynik odstający potrafi to boleśnie pokazać.

Organizatorzy festiwalu poprosili 10 studentów filmoznawstwa o ocenę filmu na skali 1–10. Dziewięcioro oceniło go nisko (2–3), ale jedna osoba dała 9. Zobacz, co ten jeden wynik robi ze średnią — i czego nie robi z medianą.

Dane: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 9. Średnia = 3,0. Bez wyniku odstającego średnia spada do ≈ 2,33. Mediana wynosi 2 — i pozostaje 2 niezależnie od tego, czy wynik odstający uwzględnimy.

🎬 Symulator wpływu wyniku odstającego

Przesuwaj suwakiem ocenę 10. studenta (od 2 do 10) i obserwuj, jak reagują obie miary. Czerwona linia to średnia, zielona to mediana. Pomarańczowa kropka to ocena, którą zmieniasz.

12345678910

Ocena 10. studenta: 9

Średnia

3,00

Mediana

2,00

Wniosek praktyczny. Gdy rozkład jest asymetryczny lub zawiera wyniki odstające, mediana jest odporniejsza i lepiej oddaje „typowy" wynik niż średnia. Dlatego np. dochody czy czasy reakcji częściej opisuje się medianą.

Miary zmienności (rozproszenia)

Sam środek to za mało. Dwa zbiory mogą mieć tę samą średnią, a zupełnie inny rozrzut. Miary zmienności mówią, jak bardzo wyniki rozpraszają się wokół środka.

„Liczba, która opisuje rozrzut obserwacji w obrębie rozkładu", „stopień, w jakim wartości rozproszone są wokół wartości centralnej". Ferguson i Takane, 2003, s. 40

Rozstęp

Najprostsza miara: różnica między największym a najmniejszym pomiarem.

Dla zbioru 3, 6, 10, 15, 18: rozstęp = 18 − 3 = 15.

Pułapka: rozstęp nie jest niezależny od rozmiaru próby. Im większa próba, tym większa szansa na trafienie wartości ekstremalnej — więc rozstęp ma tendencję do rośnięcia wraz z N i opiera się tylko na dwóch skrajnych obserwacjach.

Kwartyle

Kwartyle dzielą uporządkowany zbiór na cztery równe części — pomagają opisać rozproszenie bez wrażliwości na pojedyncze ekstrema.

Dolny kwartyl (Q1): wartość, poniżej której leży 25% jednostek (a 75% ma wartości nie mniejsze).
Drugi kwartyl (Q2) = mediana: dzieli zbiór na połowy (50% / 50%).
Górny kwartyl (Q3): wartość, poniżej której leży 75% jednostek (a 25% ma wartości nie mniejsze).

Ćwiczenie: czy Witold może być zadowolony? ›

Witold zdobył 7 pkt (maksimum to 14). Trzeci kwartyl wyniósł również 7.

Choć 7/14 to tylko połowa możliwych punktów, to pozycja względem grupy jest dobra: skoro Q3 = 7, oznacza to, że 75% osób uzyskało wynik nie wyższy niż 7. Witold znajduje się więc na granicy najlepszych 25% wyników. Tak — w odniesieniu do grupy może być zadowolony.

Morał: surowy wynik („7 z 14") i pozycja w rozkładzie (kwartyl) to dwie różne informacje. Bez kontekstu rozkładu sam wynik bywa mylący.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja

Średnia z kwadratów odchyleń wyników od średniej. Podnosimy odchylenia do kwadratu, żeby plusy i minusy się nie znosiły.

Wyrażona jest w „jednostkach do kwadratu" — trudna do bezpośredniej interpretacji.

Odchylenie standardowe (SD)

Pierwiastek kwadratowy z wariancji — wraca do oryginalnych jednostek. To „przeciętna wartość, o jaką wyniki odchylają się od średniej".

King i Minium, 2020, s. 124

Jak to policzyć — mini przykład. Dane: 2, 4, 6 (średnia = 4). Odchylenia: −2, 0, +2. Kwadraty: 4, 0, 4. Wariancja = (4+0+4)/3 ≈ 2,67. Odchylenie standardowe = √2,67 ≈ 1,63 — czyli wyniki przeciętnie odchylają się od średniej o ok. 1,63.

Kształt rozkładu: skośność i kurtoza

Dwie liczby opisujące kształt: skośność mówi o (a)symetrii, kurtoza o spłaszczeniu i skłonności do wartości odstających.

Skośność (As)

Miara asymetrii rozkładu. As > 0 → rozkład prawoskośny (długi ogon w prawo). As < 0 → lewoskośny (długi ogon w lewo). As ≈ 0 → symetryczny.

Kurtoza (K)

Nie tylko miara koncentracji — mówi też o skłonności do wartości odstających. K > 0 leptokurtyczny, K = 0 mezokurtyczny, K < 0 platykurtyczny.

📈 Eksplorator kształtu rozkładu

Wybierz skośność i kurtozę, żeby zobaczyć, jak zmienia się krzywa — oraz gdzie wtedy leżą moda, mediana i średnia. To samo zjawisko, które widziałeś w symulatorze wyników odstających: asymetria „rozjeżdża" te trzy miary.

Skośność (asymetria)

Kurtoza (spłaszczenie)

Moda (szczyt)

Mediana

Średnia

Uwaga. Krzywe są ilustracją poglądową, by pokazać kierunek zmian. W skośnym rozkładzie średnia jest „przyciągana" w stronę ogona — dokładnie tak, jak w symulatorze wyniku odstającego, gdzie pojedyncza wysoka ocena przesuwała średnią, a mediana zostawała na miejscu.

📚 Dla zainteresowanych: przystępny tekst „Kurtoza w sosie własnym" (blog statystykawpsychologii) oraz podręcznik Goss-Sampson, M. A. (2020), Statistical Analysis in JASP – A Student's Guide (jasp-stats.org).

JASP: statystyki opisowe i wykresy

Wszystkie omówione miary policzysz w JASP w jednym module — Descriptives — a kształt rozkładu najlepiej ocenisz na histogramie.

W module Descriptives → Statistics zaznaczasz interesujące Cię miary. JASP grupuje je w sekcje, które odpowiadają temu, co przerobiliśmy w tej lekcji:

Central Tendency

Mode (dominanta), Median (mediana), Mean (średnia) — czyli miary „środka".

Dispersion

Std. deviation, Variance, Range (rozstęp), IQR, MAD, minimum, maximum — miary rozproszenia.

Quantiles

Quartiles (kwartyle) i Percentiles — pozycje w uporządkowanym rozkładzie.

Sample Size + kształt

Valid / Missing (liczebność i braki) oraz miary skośności i kurtozy do oceny postaci rozkładu.

Graficzne przedstawienie — histogram

Liczby opisują rozkład, ale dopiero histogram pozwala go „zobaczyć". Słupki pokazują, ile obserwacji wpada w kolejne przedziały wartości, a nałożona krzywa gęstości wygładza ten obraz. Histogram zmiennej Neuroticism (Dolan i in., 2009) ma kształt zbliżony do dzwonu — to wizualne potwierdzenie, że rozkład jest w przybliżeniu normalny i tylko lekko asymetryczny.

Histogram poglądowy: słupki = liczebności w przedziałach, krzywa = wygładzona gęstość. Większość wyników skupia się w środku — kształt zbliżony do normalnego.

Słowniczek pojęć

Kliknij kartę, żeby zobaczyć definicję. Szybkie powtórzenie kluczowych pojęć z tej lekcji.

Rozkład normalny

Symetryczny, dzwonowaty rozkład, w którym moda = mediana = średnia. Punkt odniesienia dla wielu metod statystycznych.

Tendencja centralna

Pojedyncza liczba opisująca centralne położenie rozkładu — miara przeciętności/typowości. Moda, mediana, średnia.

Dominanta (Mo)

Wynik występujący z największą częstością. Jedyna miara środka dopuszczalna dla skali nominalnej.

Mediana

Wartość dzieląca uporządkowany rozkład na połowy (50%/50%). Odporna na wartości odstające.

Średnia arytmetyczna

Suma wyników podzielona przez ich liczbę. Uwzględnia każdą obserwację — dlatego wrażliwa na outliery.

Obserwacja odstająca

Wartość znacznie odbiegająca od pozostałych (outlier). Silnie przesuwa średnią, prawie nie wpływa na medianę.

Rozstęp

Różnica między maksimum a minimum. Prosty, ale zależny od rozmiaru próby i oparty tylko na dwóch skrajnych wartościach.

Kwartyle

Q1 (25% poniżej), Q2 = mediana (50%), Q3 (75% poniżej). Dzielą uporządkowany zbiór na cztery części.

Wariancja

Średnia z kwadratów odchyleń wyników od średniej. Wyrażona w jednostkach do kwadratu.

Odchylenie standardowe

Pierwiastek z wariancji. Przeciętna wartość, o jaką wyniki odchylają się od średniej (King i Minium, 2020).

Skośność (As)

Miara asymetrii. As>0 = prawoskośny (ogon w prawo), As<0 = lewoskośny (ogon w lewo), As≈0 = symetryczny.

Kurtoza (K)

Spłaszczenie i skłonność do outlierów. K>0 leptokurtyczny, K=0 mezokurtyczny, K<0 platykurtyczny.

Histogram

Wykres słupkowy liczebności w przedziałach wartości. Pozwala „zobaczyć" kształt rozkładu (symetrię, ogony, koncentrację).

Quiz — sprawdź wiedzę

12 pytań obejmujących cały materiał lekcji. Po każdej odpowiedzi zobaczysz wyjaśnienie.

Kluczowe wnioski

Sześć rzeczy, które powinieneś zapamiętać z tej lekcji.

1
Rozkład opisują trzy rzeczy: środek, rozrzut i kształt. Sama średnia nie wystarcza — trzeba dodać miarę rozproszenia (np. SD) i ocenić symetrię oraz spłaszczenie.
2
Moda, mediana i średnia to różne „środki". Moda = najczęstszy wynik, mediana = wartość środkowa (50/50), średnia = suma podzielona przez N. Dobór zależy od skali pomiaru i kształtu rozkładu.
3
Mediana jest odporna na wyniki odstające, średnia nie. W ocenach festiwalowych jeden wynik 9 podniósł średnią z 2,33 do 3,0, a mediana pozostała równa 2.
4
Rozstęp jest prosty, ale zwodniczy. Opiera się tylko na dwóch skrajnych wartościach i rośnie z rozmiarem próby. Kwartyle i IQR opisują rozproszenie stabilniej.
5
SD = pierwiastek z wariancji. Wariancja to średnia z kwadratów odchyleń (jednostki²); odchylenie standardowe wraca do oryginalnych jednostek i mówi, o ile przeciętnie wyniki odchylają się od średniej.
6
Skośność i kurtoza opisują kształt. As>0 = ogon w prawo, As<0 = w lewo; K>0 = leptokurtyczny (więcej outlierów), K<0 = platykurtyczny. Histogram pozwala to zobaczyć na pierwszy rzut oka.