Statystyka w Psychologii – Wykład 2 · Statystyka opisowa i eksploracja danych

Dane surowe i szereg rozdzielczy

Surowe wyniki pomiarów są nieczytelne dla ludzkiego umysłu. Pierwszym krokiem EDA jest ich zorganizowanie — czyli stworzenie szeregu rozdzielczego.

Dane surowe — punkt wyjścia

Dane surowe (raw data) to wyniki bezpośrednio po pomiarze, przed jakimkolwiek przetworzeniem — na przykład czasy reakcji każdego uczestnika w każdej próbie. Są kompletne, ale trudne do interpretacji: widząc 120 liczb, trudno od razu dostrzec prawidłowości.

Przykład z eksperymentu Sternberga: Zarejestrowano czasy reakcji (ms) dla każdego uczestnika w sześciu warunkach: 1Y (1 cyfra, odpowiedź TAK), 1N, 3Y, 3N, 5Y, 5N. Tabela danych surowych ma setki komórek i nie ujawnia trendu gołym okiem.

Szereg rozdzielczy — grupowanie danych

Szereg rozdzielczy (frequency distribution) porządkuje obserwacje w przedziały i zlicza, ile wyników mieści się w każdym przedziale. Dzięki temu widzimy kształt rozkładu — gdzie skupiają się wartości, czy jest symetryczny, czy ma „ogon".

Procedura tworzenia szeregu rozdzielczego:

Krok 1 — ustal zakres i liczbę przedziałów ›

Znajdź wartość minimalną i maksymalną w zbiorze danych. Szerokość przedziału dobrze jest dobrać tak, by powstało ok. 10–15 klas — wystarczająco dużo, by widać było kształt rozkładu, ale niezbyt wiele, by nie rozbić danych na pojedyncze obserwacje.

W przykładzie eksperymentu Sternberga dane mieszczą się w przedziale 35–115+ ms, więc sensowne klasy mają szerokość 5 ms: 35–39, 40–44, 45–49, … , ≥100.

Krok 2 — zlicz obserwacje w każdym przedziale ›

Dla każdej obserwacji ustal, do którego przedziału należy, i zwiększ licznik tej klasy o 1. Wynikiem jest tabela z dwiema kolumnami: przedział (klasa) i liczebność (frequency).

Możesz też obliczyć liczebność skumulowaną — ile wyników ma wartość mniejszą lub równą górnej granicy danego przedziału. To ułatwia obliczenie mediany i percentyli.

Krok 3 — sprawdź i zinterpretuj kształt ›

Gotowy szereg pozwala odpowiedzieć: gdzie leży modalna klasa (z największą liczebnością)? Czy rozkład jest symetryczny? Czy są klasy o bardzo dużej lub bardzo małej liczebności świadczące o wartościach skrajnych?

Jeśli dwie niesąsiednie klasy mają wyraźnie wyższą liczebność, rozkład jest bimodalny — może to wskazywać na dwie podgrupy w danych.

Szereg rozdzielczy dla warunków 1Y+1N (dane z eksperymentu Sternberga):

Przedział (ms)	Liczebność	Liczebność skum.
35–39	4	4
40–44	8	12
45–49	14	26
50–54	18	44
55–59	22	66
60–64	26	92
65–69	28	120
70–74	16	136
75–79	10	146
80–84	6	152
≥ 85	8	160

Histogram — wizualizacja szeregu

Histogram to wykres słupkowy szeregu rozdzielczego: oś X to przedziały zmiennej, oś Y to liczebność (lub częstość względna). Słupki przylegają do siebie (w odróżnieniu od wykresu kolumnowego), co podkreśla ciągłość zmiennej. Główna wartość histogramu: jednym spojrzeniem widać kształt rozkładu — symetryczny, skośny, bimodalny.

Histogram dla danych z warunków 1Y+1N (najedź na słupek, by zobaczyć przedział)

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

≥85

Grupowanie redukuje szum. Gdyby każda unikalna wartość ms była osobną klasą, histogram miałby setki cienkich słupków i nic by nie pokazywał. Grupowanie w przedziały wygładza szum pomiarowy i ujawnia ogólny trend — rozkład zbliżony do normalnego z lekkim prawostronnym ogonem.

Miary tendencji centralnej

Moda, mediana i średnia to trzy różne sposoby odpowiedzi na pytanie: „Gdzie leży środek rozkładu?" Każda z nich mówi coś innego — i każda ma swoje słabości.

Moda (Mo)

Wartość najczęściej występująca w zbiorze danych — ta, która pojawia się z największą częstotliwością.

Jedyna miara, którą możemy stosować do danych nominalnych (np. najczęstsza kategoria zawodu).

Rozkład może mieć wiele mód jednocześnie (bimodalny, multimodalny).

Mediana (Mdn)

Wartość środkowa po posortowaniu danych od najmniejszej do największej. Dokładnie połowa obserwacji leży poniżej, połowa powyżej mediany.

Obliczana jako 50. percentyl. Jest odporna na wartości skrajne — jeden ogromny wynik nie przesuwa jej znacząco.

Odpowiednia dla danych porządkowych i przedziałowych/ilorazowych z outlierami.

Średnia (M lub X̄)

Suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Uwzględnia każdą obserwację — dlatego jest wrażliwa na wartości skrajne.

X̄ = ΣX / N

Tylko dla skal przedziałowych i ilorazowych. Najczęściej stosowana w psychologii.

Moda w danych Sternberga — bimodalność

W rozkładzie czasów reakcji z eksperymentu Sternberga wykryto dwie mody: 62 ms i 67 ms (obie z częstością 14 obserwacji). Taka bimodalność może sugerować, że badana próba składa się z dwóch podgrup — np. osób z krótszymi i dłuższymi bazowymi czasami reakcji.

Pułapka mody: W przypadku dużych zbiorów ciągłych danych i szerokich klas moda zależy od szerokości przyjętych przedziałów. Zmiana podziału na klasy może zmienić modalną wartość — dlatego w takich sytuacjach mediana i średnia są stabilniejszymi miarami centrum.

Mediana — środek uporządkowanego rozkładu

Aby znaleźć medianę, dane muszą być posortowane. Dla N nieparzystego jest to środkowa obserwacja; dla N parzystego — średnia dwóch środkowych. Mediana odpowiada dokładnie 50. percentylowi — wartości, poniżej której leży połowa obserwacji.

Przykład: Dla zbioru [40, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 65, 120] mamy N=10 (parzyste). Dwie środkowe wartości to 52 i 55. Mediana = (52+55)/2 = 53,5 ms.

Wartości skrajne a wybór miary centrum

Jedna ekstremalnie duża wartość może całkowicie zaburzyć średnią — i to właśnie odróżnia ją od mediany. Poniższy symulator pozwala zobaczyć ten efekt na żywo.

Rozważmy wyniki 10 uczestników zadania czasomiarowego. Dziewięć pierwszych czasów mieści się w normalnym zakresie. Dziesiąty uczestnik był jednak rozproszony — i jego wynik może być dowolnie duży. Jak zmienia się średnia i mediana?

Symulator wartości skrajnej

Przesuń suwak, żeby zmienić wartość 10. obserwacji (X) od 65 ms do 300 ms. Obserwuj, jak reaguje średnia (niebieska) i mediana (zielona).

Wartość X (ms): 65

Średnia (X̄)

—

Mediana (Mdn)

—

Różnica X̄ − Mdn: —

Kiedy używać której miary? Średnia jest optymalna dla rozkładów symetrycznych bez wartości skrajnych (np. wzrost w populacji). Mediana lepiej opisuje rozkłady skośne lub zanieczyszczone outlierami — np. dochody, czasy oczekiwania, dane z badań z przerwaną procedurą.

Dane z badania PGSS 2002 (Polska Generalna Sonda Społeczna): Czas poszukiwania pracy w miesiącach. Średnia = 29,82 miesiąca, mediana = 20 miesięcy. Duża różnica wskazuje na rozkład prawostronnie skośny — większość ludzi znajdowała pracę szybciej, ale mała grupa bardzo długo poszukujących podciągała średnią w górę.

Wykres pudełkowy (boxplot)

Boxplot w jednej grafice streszcza pięć kluczowych liczb opisujących rozkład — i jednocześnie ujawnia wartości skrajne.

Pięć liczb podsumowania

Budowa boxplotu

Min — najmniejsza wartość bez outlierów (koniec dolnego wąsika)
Q1 — 25. percentyl (dolna krawędź pudełka)
Mediana — 50. percentyl (linia wewnątrz pudełka)
Q3 — 75. percentyl (górna krawędź pudełka)
Max — największa wartość bez outlierów (koniec górnego wąsika)

IQR i wąsiki

IQR (rozstęp ćwiartkowy) = Q3 − Q1. Obejmuje środkowe 50% danych.

Wąsiki sięgają do skrajnych wartości mieszczących się w granicach:
dolna = Q1 − 1,5 × IQR
górna = Q3 + 1,5 × IQR

Outliery — punkty poza wąsikami — zaznaczane indywidualnie jako kropki.

Anatomia boxplotu — kliknij element, by dowiedzieć się więcej

Poniżej boxplot dla warunku 5N (5 cyfr, odpowiedź NIE) z eksperymentu Sternberga: Q1=63 ms, Mediana=66,5 ms, Q3=73,5 ms, wąsiki: 53–90 ms, outlier: 125 ms. Klikaj przyciski pod wykresem, żeby poznać znaczenie każdego elementu.

Kliknij jeden z przycisków powyżej, żeby zobaczyć wyjaśnienie zaznaczonego elementu.

Porównanie boxplotów — wnioski z eksperymentu Sternberga

Gdy nałożymy boxploty dla wszystkich sześciu warunków (1Y, 1N, 3Y, 3N, 5Y, 5N), widać wyraźny trend: im więcej cyfr w zestawie, tym wyższe mediany i bardziej rozsunięte pudełka. Warunek 5N ma wyraźnie wyższe wartości niż 1Y. Ten systematyczny wzrost czasu reakcji ze wzrostem obciążenia pamięciowego stanowi silny argument za sekwencyjnym (nie równoległym) przetwarzaniem informacji w pamięci roboczej.

Porównanie miar i kształt rozkładu

Względna pozycja mody, mediany i średniej ujawnia, czy rozkład jest symetryczny, czy skośny — i w którą stronę.

Symetryczny

Mo = Mdn = X̄

Rozkład normalny. Wzrost w populacji, wyniki testów standaryzowanych.

Prawostronnie skośny

Mo < Mdn < X̄

Ogon w prawo. Dochody, czas poszukiwania pracy (PGSS 2002: Mdn=20, X̄=29,8 m-cy).

Lewostronnie skośny

X̄ < Mdn < Mo

Ogon w lewo. Wiek emerytalny, wyniki łatwego testu (większość blisko max).

Rozkład normalny

Rozkład normalny (Gaussa) jest szczególny: symetryczny, jednogarbny, i wszystkie trzy miary centrum są sobie równe (Mo = Mdn = X̄). Kształt dzwonu jest opisany przez dwa parametry: średnią μ (przesuwa dzwon w lewo/prawo) i odchylenie standardowe σ (zmienia jego szerokość).

Centralne twierdzenie graniczne

Gdy losujemy próby o dostatecznie dużej liczebności (N > 30) z dowolnej populacji, rozkład średnich z prób zbliża się do normalnego — niezależnie od kształtu rozkładu populacji. To pozwala stosować metody oparte na rozkładzie normalnym w większości badań psychologicznych.

Kiedy rozkład normalny?

W praktyce wiele zmiennych psychologicznych jest w przybliżeniu normalnych: IQ (M=100, SD=15), wyniki testów standaryzowanych, wiele miar osobowości. Jednak zmienne ekonomiczne (dochody), biologiczne (czas życia) czy behawioralne (liczba aktów agresji) bywają silnie skośne.

Nie zakładaj z góry normalności. Zawsze sprawdź kształt histogramu lub boxplotu przed zastosowaniem metod zakładających rozkład normalny (t-test, ANOVA). Jeśli rozkład jest wyraźnie skośny lub ma outliery, rozważ użycie mediany zamiast średniej lub testów nieparametrycznych.

Słowniczek

Kliknij kartę, żeby zobaczyć definicję.

Dane surowe

Wyniki pomiarów bezpośrednio po zebraniu, przed jakimkolwiek przetworzeniem czy organizacją.

Szereg rozdzielczy

Tabela pokazująca liczbę obserwacji w każdym przedziale wartości. Organizuje dane surowe w czytelną strukturę.

Histogram

Wykres słupkowy szeregu rozdzielczego dla zmiennej ciągłej. Oś X: przedziały, oś Y: liczebności. Słupki przylegają do siebie.

Moda (Mo)

Wartość najczęściej pojawiająca się w zbiorze danych. Jedyna miara tendencji centralnej dla danych nominalnych.

Mediana (Mdn)

Wartość środkowa posortowanego zbioru (50. percentyl). Odporna na wartości skrajne — dobra dla danych skośnych.

Średnia (X̄)

Suma wartości podzielona przez ich liczbę. Uwzględnia każdą obserwację — wrażliwa na wartości skrajne.

IQR

Rozstęp ćwiartkowy = Q3 − Q1. Obejmuje środkowe 50% danych i jest odporny na wartości skrajne.

Boxplot

Wykres pudełkowy: wizualizuje min, Q1, medianę, Q3, max i outliery jednocześnie. Pokazuje skośność i rozrzut.

Outlier

Wartość skrajna — punkt leżący poza wąsikami boxplotu (dalej niż Q1−1,5×IQR lub Q3+1,5×IQR). Zaznaczany oddzielnie.

Skośność prawostronna

Ogon rozkładu ciągnie się w prawo; Mo < Mdn < X̄. Typowe dla dochodów, czasów oczekiwania.

Rozkład normalny

Symetryczny rozkład w kształcie dzwonu; Mo = Mdn = X̄. Opisany przez μ i σ. Podstawa większości testów statystycznych.

CTG

Centralne twierdzenie graniczne: dla N > 30 rozkład średnich z prób jest normalny niezależnie od kształtu populacji.

Quiz

12 pytań z całego zakresu wykładu. Po każdej odpowiedzi zobaczysz wyjaśnienie.

Kluczowe wnioski

1
Dane surowe wymagają organizacji. Szereg rozdzielczy i histogram zamieniają nieczytelną listę liczb w obraz kształtu rozkładu — to pierwszy krok każdej analizy eksploracyjnej (EDA).
2
Trzy miary centrum — trzy różne pytania. Moda pyta „co najczęstsze?", mediana „gdzie leży połowa?", a średnia „jaka jest suma podzielona na równe części?". Wybór miary zależy od kształtu rozkładu i skali pomiaru.
3
Mediana jest odporna, średnia — nie. Jedna wartość skrajna może znacznie przesunąć średnią, nie ruszając mediany. W rozkładach skośnych (dochody, czasy oczekiwania) mediana lepiej opisuje „typowy" wynik.
4
Boxplot łączy pięć statystyk w jednej grafice. Min, Q1, mediana, Q3, max oraz widoczne outliery — to więcej informacji niż sama średnia ± SD, szczególnie przy porównywaniu wielu warunków.
5
Względna pozycja Mo, Mdn i X̄ wskazuje skośność. Prawostronny ogon: Mo < Mdn < X̄ (np. PGSS 2002). Lewostronny ogon: X̄ < Mdn < Mo. Symetria: wszystkie równe — to rozkład normalny.
6
Centralne twierdzenie graniczne ratuje statystykę. Nie musisz zakładać normalności populacji — dla N > 30 rozkład średnich z prób jest normalny, co uzasadnia stosowanie testów parametrycznych w psychologii.