StatystykaWykład 5 ← Spis treści
Statystyka w Psychologii · Wykład 5

Dwie średnie, przedziały ufności i proporcje

Ten moduł porządkuje kolejne kroki testowania: gdy porównujesz dwie niezależne grupy, gdy liczysz przedział ufności oraz gdy zamiast średnich analizujesz odsetki.

Najpierw wybierz typ pytania

Wykład 5 rozszerza testowanie hipotez z poprzedniego modułu: zamiast jednej średniej pojawiają się dwie niezależne grupy, a obok średnich wchodzą proporcje.

Interaktywna mapa testu

Kliknij sytuację badawczą, żeby zobaczyć właściwy wzór, błąd standardowy i przykład z psychologii.

Próby niezależne

To dwie różne grupy osób lub wyników, między którymi nie ma parowania: np. grupa eksperymentalna vs kontrolna, młodsi vs starsi dorośli, terapia A vs terapia B.

Różnica jako parametr

W centrum jest różnica populacyjna: μX − μY. Najczęściej sprawdzasz, czy wynosi 0, czyli czy grupy nie różnią się średnią lub proporcją.

Dwie średnie: duże próby niezależne

Gdy obie próby są duże, różnica średnich z prób może być standaryzowana statystyką Z. To naturalne rozszerzenie testu z jedną średnią.

Hipotezy i oznaczenia

ElementZnaczeniePrzykład
X̄, Ȳśrednie w dwóch niezależnych próbachekstrawersja młodszych i starszych dorosłych
n₁, n₂liczebności prób100 osób i 50 osób
sX, sYodchylenia standardowe w próbach12 pkt i 10 pkt
króżnica zakładana w H₀najczęściej k = 0
Z = (X̄ − Ȳ − k) / SE(X̄ − Ȳ) SE(X̄ − Ȳ) ≈ √(sX²/n₁ + sY²/n₂), a dla testu dwustronnego p ≈ 2 · P(Z > |Zobl|)
Przykład z wykładu: ekstrawersja a wiek.
Młodzi dorośli: n₁ = 100, X̄ = 69,6, sX = 12,0. Starsi dorośli: n₂ = 50, Ȳ = 68,9, sY = 10,0.
Różnica średnich wynosi 0,7 punktu, SE ≈ 1,855, Z ≈ 0,38, p ≈ 0,704. Przy α = 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

Kalkulator Z dla dwóch średnich

Zmień wartości i obserwuj, jak różnica średnich, liczebność oraz zmienność wpływają na p-value i przedział ufności.

Różnica
0,70
X̄ − Ȳ
SE
1,855
błąd standardowy
Z
0,377
statystyka testowa
p
0,706
test dwustronny
Przedział ufności
[-2,94; 4,34]
PU 95% dla μX − μY
Wartość krytyczna
±1,960
normalny próg dwustronny
Brak podstaw do odrzucenia H₀

W dużych próbach zakładamy przybliżenie normalne. Jeśli n jest małe, przejdź do sekcji o teście t z wariancją łączoną.

Przedział ufności: ile niepewności ma estymator?

Średnia z próby jest estymacją punktową. Przedział ufności dopisuje do niej margines błędu i pokazuje zakres wartości zgodnych z danymi.

Jedna średnia

X̄ ± 1,96 · s/√n dla przybliżonego PU 95%

Dla n = 100, X̄ = 69,6 i s = 12: PU 95% = 69,6 ± 2,35, czyli około [67,25; 71,95].

Różnica średnich

X̄ − Ȳ ± z · SE(X̄ − Ȳ) dla różnicy μX − μY

W przykładzie ekstrawersji: 0,7 ± 1,96 · 1,855 = [-2,93; 4,33]. Ponieważ przedział zawiera 0, wynik nie jest istotny przy α = 0,05.

Jak czytać PU?
Jeśli 95% PU dla różnicy średnich zawiera 0, to dane są zgodne zarówno z dodatnią, jak i ujemną różnicą - przy α = 0,05 zwykle nie odrzucasz H₀ o braku różnicy. Jeśli cały przedział jest powyżej lub poniżej 0, masz wynik istotny dwustronnie.

Ćwiczenie: czy przedział wspiera odrzucenie H₀?

Dla każdego PU dla różnicy zdecyduj, czy przy α = 0,05 mamy wynik istotny dwustronnie.

Małe próby: test t dla dwóch niezależnych średnich

Gdy próby są małe, używamy rozkładu t Studenta. W wersji z wykładu zakładamy równość wariancji i liczymy wariancję łączoną.

Wariancja łączona i statystyka t

sp² = [(n₁−1)sX² + (n₂−1)sY²] / (n₁+n₂−2) SE = sp · √(1/n₁ + 1/n₂), df = n₁ + n₂ − 2, t = (X̄ − Ȳ − k) / SE

Wariancja łączona jest wspólnym oszacowaniem zmienności, gdy przyjmujesz, że obie populacje mają podobną wariancję.

Przykład z wykładu: neurotyczność po terapii.
Terapia eksperymentalna: n₁ = 10, X̄ = 15, sX = 5. Terapia standardowa: n₂ = 12, Ȳ = 22, sY = 5.
sp = 5, SE ≈ 2,141, t ≈ -3,27, df = 20, p ≈ 0,0038. Odrzucamy H₀, a PU 95% dla różnicy to około [-11,47; -2,53].

Kalkulator t z wariancją łączoną

Domyślne dane odtwarzają przykład z terapią. Wynik ujemny oznacza, że średnia w grupie X jest niższa niż w grupie Y.

sp
5,000
odch. łączone
SE
2,141
błąd różnicy
t
-3,269
df = 20
p
0,0038
test dwustronny
Przedział ufności
[-11,47; -2,53]
PU 95% dla μX − μY
t krytyczne
±2,086
dla df i α
Odrzucamy H₀

p-value i t krytyczne są liczone numerycznie w przeglądarce. Dla bardzo nietypowych wartości traktuj je jako pomoc dydaktyczną, a nie zamiennik programu statystycznego.

Proporcje: jedna populacja i dwie populacje

Gdy zmienna ma postać „tak/nie", zamiast średniej analizujesz proporcję: odsetek osób z daną cechą, odpowiedzią lub wynikiem.

Jedna proporcja

Z = (p̂ − p₀) / √[p₀(1−p₀)/n] SE w teście liczymy z p₀ zakładanego przez H₀

Przykład: czy aktualny odsetek nastolatków doświadczających cyberprzemocy różni się od historycznego 35%?

Dwie proporcje

Z = (p̂₁ − p̂₂) / SEpooled przy H₀: p₁ = p₂ używamy proporcji łączonej

Przykład: czy dwa programy terapeutyczne różnią się odsetkiem remisji po 12 miesiącach?

Dlaczego dla proporcji są dwa różne SE?›

W teście jednej proporcji zakładasz, że H₀ jest prawdziwa, więc błąd standardowy liczysz z p₀. W przedziale ufności nie zakładasz H₀, tylko opisujesz niepewność estymatora, więc używasz p̂ z próby.

Dla dwóch proporcji w teście H₀: p₁ = p₂ używasz proporcji łączonej, bo pod H₀ obie grupy mają tę samą prawdziwą proporcję. W przedziale ufności dla p₁ − p₂ liczysz SE osobno z p̂₁ i p̂₂.

Laboratorium proporcji

Przełącz tryb i porównaj przykład cyberprzemocy z przykładem remisji w programach terapeutycznych.

p̂
0,410
164 / 400
SE testu
0,0239
z H₀
Z
2,516
statystyka testowa
p
0,0119
test dwustronny
Przedział ufności
[0,362; 0,458]
PU 95% dla p
Interpretacja
41,0%
odsetek w próbie
Odrzucamy H₀ przy α = 0,05

Słowniczek pojęć

Kliknij kartę, aby odsłonić krótką definicję.

Próby niezależne
Dwie grupy bez parowania obserwacji. Wyniki jednej osoby nie są powiązane z wynikami osoby z drugiej grupy.
k w H₀
Różnica zakładana przez hipotezę zerową. Najczęściej k = 0, czyli brak różnicy między grupami.
SE różnicy
Oszacowanie losowej zmienności różnicy średnich lub proporcji. Im mniejszy SE, tym precyzyjniejszy estymator.
Przedział ufności
Zakres wartości parametru zgodny z danymi i wybranym poziomem ufności. Dla różnicy zawarcie zera zwykle oznacza brak istotności.
Wariancja łączona
Wspólne oszacowanie wariancji dla dwóch małych prób, używane przy założeniu równości wariancji populacyjnych.
df
Stopnie swobody. W teście t dla dwóch niezależnych prób z wariancją łączoną: df = n₁ + n₂ − 2.
Proporcja p̂
Odsetek sukcesów w próbie, np. 164/400 = 0,41. Stosowana dla zmiennych zero-jedynkowych.
p̂ łączone
Wspólna proporcja używana w teście H₀: p₁ = p₂. Liczymy ją jako (x₁+x₂)/(n₁+n₂).
p-value
Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku co najmniej tak ekstremalnego, gdy H₀ jest prawdziwa. Małe p wzmacnia dowody przeciw H₀.
α
Próg decyzji i akceptowane ryzyko błędu I rodzaju. Standardowo α = 0,05.

Quiz sprawdzający

12 pytań obejmujących średnie, przedziały ufności, test t i proporcje.

Kluczowe wnioski

1
W próbach niezależnych porównujesz dwa różne źródła danych. Dla średnich badanym parametrem jest μX − μY, a dla proporcji p₁ − p₂.
2
Duże próby pozwalają użyć przybliżenia normalnego. Dla dwóch średnich liczysz Z przez podzielenie różnicy średnich przez błąd standardowy tej różnicy.
3
Przedział ufności pomaga zobaczyć niepewność, nie tylko decyzję. Jeśli PU dla różnicy zawiera 0, wynik zwykle nie jest istotny dwustronnie przy odpowiadającym α.
4
Dla małych prób z równymi wariancjami używasz wariancji łączonej. Stopnie swobody wynoszą n₁ + n₂ − 2, a decyzję opierasz na rozkładzie t.
5
Dla proporcji SE zależy od celu. W teście jednej proporcji używasz p₀, w PU używasz p̂; w teście dwóch proporcji pod H₀ używasz proporcji łączonej.